反激图解法（三）

当ESR不为零时求解方法同上面相似，由于引入了ESR参数P(t)、Q(t)及电容放电方程变化如下：

前面的仿真和计算用的是500uF的输出电容，当考虑ESR时电容要选的更大些，这里选3300uF电容ESR≈0.018。重新绘制输出电压波形并同Saber仿真对比如下：

                                        图1-3 引入ESR后的输出电压波形对比

如果考虑实际变压器初次级间的寄生电容，引入寄生电容后的纹波电压波形如下：

                       图1-4 变压器寄生电容引起的电压尖峰

采用微积分方程虽然可以精确的描绘出电压波形但其计算过程较繁琐耗时也较多，从图1-3的波形可以看出纯电容（假设电容与ESR分离）上的纹波相对于ESR电阻上的纹波要小很多，如果将纯电容上的电压近似为零纹波可以得到一个近似的电容与纹波的关系方程。

                   图1-5 最大电压近似方程

                   图1-6 最小电压近似方程

二者之差既为最大纹波电压，得到的纹波、电容关系曲线如下

                     图1-7 纹波与输出电容近似关系

将这个近似方程曲线同精确的微积分方程曲线放在一起想看看偏差多少，结果有些意外见下图

                                   图1-8 近似方程同微分方程的曲线对比

如图1-8两条曲线接近于重合，如果此结果是正确的话那么采用图1-7中的公式来求解输出电容将会十分的便捷且准确。

Saber仿真同近似方程的数据对比验证如下：

                              图1-9 Saber同Mathcad数据对比（DCM、CCM）

Saber的仿真结果也验证了这个近似方程是比较准确的。

Saber软件的CosmosScope突然打不开了重装软件无果，在不重装系统的前提下如何解决？（2012版）

计算输出电容时有个常见的公式：Cout=（Io*10）/(f*Vripple(pk-pk))*10^6，下面将这个公式同近似公式进行对比：

         图1-10 近似方程与经验方程的对比

如图1-10两种方法得到的曲线几乎完全重合，不过是在占空比Don=0.45、电流纹波率r=1.152的条件下（其它条件下并不重合）。可以说常见公式（或称经验公式）是近似公式中的一个特例，近似公式适用的范围更广而且可以知道方程式怎么来的。

由近似方程可以看出影响输出电压纹波大小的因素是次级峰值电流和电容ESR，这里的ESR是按60*10^-6/Co来估算的那么只剩下次级峰值电流这一变量，或者说次级峰值电流越大输出的纹波越大。

仍以5V/2A为例，列举不同情况下的纹波变化规律：

                              图1-11-1 输出纹波与电流纹波率的关系

图1-11-1分别为DCM、BCM、CCM三种模式下的输出纹波曲线，取相同的输出电容则断续模式纹波最大连续模式纹波最小。

取临界模式，输出纹波与初次级匝比的关系如下：

                               图1-11-2 输出纹波与匝比n的关系

列举几个反激的电流波形（功率10W开关频率60Khz）

                                 图1-12-1 DCM、BCM、CCM电流波形

设计一个10W60Khz的反激，如果选连续模式则峰值电流小如果选断续模式峰值电流大（同在Vin=100V条件下）。

假设电路已经设计好取电感L=2378mH，输入从低压到高压的电流波形如下：

                                    图1-12-2 不同输入电压时的电流波形

如图1-12-2，低压输入时电流为连续模式高压输入时电流为断续模式，峰值电流不受输入电压影响。

100V输入时重载到轻载的三种模式电流波形如下：

                                   图1-12-3 不同功率下的电流波形

负载上的电流Io纹波比较小近似认为是直线可以得到Ic=Id-Io的关系式（Ic为电容电流，Id为输出二极管电流），波形如下：

                           图2-1 电容电流关系图

对电容上的电流进行有效值计算，一种方法是直接积分第二种方法是采用有效值公式，得到的结果如下：

                           图2-2 两种有效值计算方法

图2-2是一个10W左右的反激其临界功率是6W，连续模式时（大于6W）两个公式结果基本一致进入断续模式后二者出现了差别，理论上用积分计算的结果应该更准确些。

输出电容的损耗和容值的关系基本上也是ESR与容值的关系，如下图：

                           图2-3 输出电容损耗和容值的关系

有了电流有效值就可以估算出电容寿命,采用与输入电容相同的计算方法：

                           图2-4 输出电容寿命估算

根据电容的不同公式中的参数要作调整。

图2-2中常见公式法在断续模式的偏差是由1-D引起的，

在连续模式下Doff=1-D，当断续模式时要用Vin*D/Vor来替代1-D同时取r=2，修正后的公式结果同积分法一致了见上图。

将连续模式、断续模式统一起来的表达式如下：

连续模式CCM：r<2，断续模式DCM：r=2。

前面举的60W的例子输出电容与纹波电压的关系如下，

                           图3-1 60W反激输出电容与纹波电压的关系

如果设计指标是输出纹波小于100mV那么输出电容需大于20mF（20000uF），这么大的电容成本太高还有启动等问题。一种解决方法是选用ESR小的电容比如固态电容，另外比较常见是后面再加一级LC滤波电路。

加一级LC后输出变成了π型滤波器，因有后一级LC的滤波作用前一级电容的纹波不是主要矛盾其寿命应当是主要考虑的问题。参考下面的寿命/容量曲线图：

                                 图3-2 电容寿命、容量关系图

这里取前级电容5000uF在40度环境下寿命大于6年，参考图3-1前级电容上的纹波400mV左右。

后级的LC滤波电路考虑到电感越大损耗越大一般取100uH以下，电容匹配电感尽量降低LC滤波电路对环路的影响，利用公式sqrt(L*C)=1/(2*π*f)将电容转换为C(f,L)函数，得到输出纹波跟滤波电感之间的关系曲线：

                             图3-2 输出纹波与滤波电感的关系图

如图3-2假设选取谐振频率为20Khz的曲线，当滤波电感大于3.7uH后输出纹波可低于100mV，这里选取L=4uH，C=16uF，得到的bode图如下：

（未考虑电容的ESL和电感的ESR）

                            图3-3 电感L=4uH时的bode图

如图3-3假设穿越频率为10Khz则此LC滤波电路会给环路带来-34.1度的相移。

如果仍取20KH谐振频率当滤波电感L=100uH时的bode图如下：

                           图3-4电感L=100uH时的bode图

在穿越频率10Khz处相移-86度，幅度大幅衰减，带来的直观影响是动态响应变慢。

上述是采用基波法而实际输入波形（前级电容的纹波）是近似三角波+方波，这造成计算上的一些偏差，列举三组数据：

电感L                  1uH         10uH         100uH 

Saber (V)           0.2189     0.0417       0.00416

Mathcad(V)        0.176       0.039         0.00438

对前级电容纹波做FFT分析：

                                   图3-5 前级纹波FFT

得到如上的谐波和相位分量（用Saber软件对比过，结果一致），再将各次谐波进行逆FFT变换：

                                    图3-6 前级电容纹波IFFT

逆变换后的波形和原始波形基本重合，现在想对各次谐波进行LC滤波后（基波分析法）再进行逆FFT变换这样得到的结果应当会比较准确了，但怎样去实现就不知道了。这种方法用在这里有点小题大做，如果能用于LLC电路分析或许效果不错。

根据模相乘、角相加原理对FFT逆变换公式做如下调整：

基于此方程的IFFT结果波形同Saber仿真对比如下：（C1=5000uF,L=1uH,C2=16uF）

                    图3-7加入基波分析法的IFFT波形与Saber仿真对比

图3-7二者波形基本一致（图（b）ui采用的是近似输出纹波不是积分方程得到的精确输出纹波），取不同滤波电感后的结果也一致，证明采用上述方法是可行的。

后面做磁芯损耗分析时损耗公式都是基于正弦波下的而多数电源实际工作波形都为非正弦波，上面这种基波IFFT法或许可以应用在磁芯损耗分析上。