电感器寄生电容的计算
2004-11-8
薛天蓓 译 姜劲 编校
1 引言
任何一个电感器的极限工作频率都受到其寄生电容的影响.电感器与变压器的频率响应在高频段与在低频段是不相同的.随工作频率的提高,集肤效应和临近效应引起绕组寄生阻抗增大,与此同时,绕组的寄生电容更是不能忽视.因此,精确地预测电感器工作在几百KHZ以上(如工作在开关电源中)时的频率响应,对设计高频功率电路是有积极意义的.不过绕组的寄生电容及阻抗都是分布参数,它们的值取决于频率.所以,从理论上预测电感器的频率响应特性的讨论与分析较多地集中在绕组与磁心的损耗上,而单层或多层绕组的寄生电容对高频特性的影响,则多以物理方面的理解,提出了一些实验数据.本文提出了一种计算单层或多层绕组电感器的寄生电容的方法,该方法建立在理论分析和电感器的实物结构上,即根据电感器的几何结构参数和绕组的层数来建立计算公式以预测寄生电容.例如,电感器的绕组常是分成许多相同的单元,使用其中一个单元的等效电路表达式,即可对无论是带有磁心还是没有磁心的单层或多层绕组的寄生电容进行计算,也可用作模拟试验.通过实验证明,该方法计算得出的寄生电容值是有很高准确度的.
2 电感器变压器的寄生电容模型
电感器和变压器绕组具有分布寄生电容.这种电容可以通过连接在绕组两端之间的一个电容器来摸拟,如图1所示.本文对绕组的分布寄生电容进行分析是基于如图2所示的由单线均匀绕制的电感器结构模型.
电感器总的寄生电容包括下列几个部分:
a、 同一层绕组匝与匝之间的电容;
b、 相邻层绕组匝与匝之间的电容;
c、 绕组每一匝对铁心及屏蔽层的电容
图2所示为有规则地绕制的三层绕组的剖视图.图3画出了匝与匝之间分布寄生电容的基本单元ABCD.由图2图3可见其绕组结构成几何对称,从绕组每一根导线发出的电力线完全被另外的导线包围.如果假设线圈的各部分(匝与匝、匝与铁心,匝与屏蔽层)彼此相距很近,则将没有那一根电力线可以发出去无穷远.因为绕组的结构呈几何对称,所以电力线肯定只在邻近的导线间均匀分布.如果只考虑两根相邻的导线,其电容的微分式可写为:ds = ε·ds/x ,(1)式中,ds为两导线相对的表面面积的微分;ε=εo·εr 是介质材料的介电常数;x是这两根导线对应表面之间的电力线长度.在一般情况下,长度x不是常数,但可以表示为一个给定的微面的函数.因此,应选择某一个坐标系统.对于圆形导体,给定的微面可以用一个角座标值θ表述,见图4所示.因此,dc也取决于角座标值θ.
3 匝间分布寄生电容
3.1 寄生电容的基本单元结构
反映匝——匝之间寄生电容的基本单元(ABCD)如图3所示.从中可以看出,对于绕组同一层次的相邻两线匝与不同层次的相邻两线匝的寄生电容基本单元是相同的.因此,里层的绕组都可以分解为相同的基本单元,只有邻近铁心和邻近屏蔽层的单元与匝——匝间的单元不同.但如果采用一阶近似算法,则可以考虑为所有的寄生电容的基本单元是相同的.由图3所示可以看出,它们包含着每线匝的对应角度(=π/3)的周边部分.因此,为了得到匝——匝间的寄生电容,式(1)应该在π/3上积分.由图2和图3示出的寄生电容单元的对称性也说明了这种关系,使用一阶近似计算时,对于没有被完全包围的导线也可以采用同样的角度,这样的近似计算法等于忽略了边缘效应.
寄生电容基本单元的电力线穿越三个不同的区域,即两个绝缘层和它们之间的空气隙.由此可见,相邻两匝间的寄生电容(dc)等同于三个微电容串联,而且每一个电容器都有均匀的介质材料,第一个电容“寄生”于第一匝的绝缘层,第二个电容“寄生”在空气隙,第三个电容“寄生”在第二匝的绝缘层.由于每匝导线表面可近似等效为“等势面”,因此,电力线必定与导体表面正交.如果绝缘层的厚度尺寸S比导线直径尺寸(包括绝缘层)Do小得很多,则绝缘层中电力线的路径可以如图4那样作近似的处理.
计算相邻线匝空气隙里实际的电力线路径是很麻烦的,所以按可能的最短路径进行保守的近似处理,该路径平行于匝间的中心线,图4画出了其中一段,包括角坐标θ.这个近似处理对θ角度很小时很有效,对计算匝——匝间的寄生电容有很大的帮助.近似处理将产生计算误差,导致在相对较大的θ值时,由理论计算出的寄生电容值较大.但是因匝——匝表面间的寄生电容随着θ的增加而减小,故实际计算发生的误差可被忽略.
3.2 绝缘层间的寄生电容
图5 位于绝缘层的单位园柱面,图5表示一个圆柱面单元,它示出的是导线绝层内表面和导线绝缘层外表面之间的那一部分——绝缘层的厚度.绝缘层的寄生电容的表达式由其微分方程式给出:(2)式中,r为导线半径(不含绝缘层),rc是在导线半径ro(包括导线绝缘层)上的积分,l是在零到匝长lt的积分.式(2)中代入这些参数,可以得到dθ的绝缘层的寄生电容计算式:(3)由此式,对应于绝缘层的每个基本单元的单位角度的寄生电容由下式给出:(4)
3.3 空气隙的寄生电容
按图4的几何结构,假定电力线 的路径之长度x对于θ的函数关系由下式给出:X(θ)= Do(1-cosθ),(5)导线单位长度(lt)的表面积(包括绝缘层)由下式给出: ds =(1/2·lt·Do)dθ,(6)单位角度的单位寄生电容为:(7)
3.4 基本单元的总寄生电容
基本单元的电容由式(4)和式(7)串联组合为下式:式中,Dc = 2 rc .
将式(8)积分,积分范围为基本单元,可以求出匝——匝之间总的寄生电容:(9).
4 线匝与铁心间的寄生电容
表达式(9)也可用于计算线匝——铁心和线匝——屏蔽层之间的寄生电容.由图3可见,铁心为恒电势且垂直于对称平面上;基本单元中导线间空气隙中心到铁心平面间的电力线长度是空气隙相邻两线匝之间的电力线长度的一半.线匝到铁心的基本寄生电容单元要比线匝与线匝之间的基本单元多.每一线匝的周边部分(对应角度为π/2)被包含在线匝——铁心基本单元中,这可以从图2看出来.为简化计算并用一阶近似计算,可以考虑线匝——铁心的基本单元数量与线匝——线匝的基本单元数相同.由此可得出计算线匝——铁心间寄生电容的表达式:
Ctc = 2Ctt(10)图6 基本单元内容.
5 求解寄生电容的简化方案
首先,我们将计算式(4)、(7)、(8)以图表来表达,如图(6),其中虚线代表式(7),点划线代表式(4),实线代表式(8).由图4和图6可以看到,在θ=0时,电力线在空气隙里的长度等于零,由曲线(7)给出的相应的寄生电容接近无穷大;当θ增大时,空气隙里的电力线随之变长,寄生电容也随之变小.而由曲线(4)给出的寄生电容在全部基本单元中保持着恒值.因此,在较小的θ时,空气隙里的寄生电容比绝缘层里的寄生电容的串联组合大得多.而在较大的θ时,空气隙里的寄生电容比绝缘层中的寄生电容串联组合小得多.由式(9)给出的线匝——线匝间的寄生电容对应于图6中的曲线(8)——实线以下的区域.曲线(7)——虚线和曲线(4)——点划线相交于角θ*.这样,可以通过曲线(4)之下、θ*之右的面积与曲线(7)以下、θ*之左的面积来逼近曲线(8)之下的面积.这个近似值很保守,因为后者的面积比前者大得多.因此,图3所示的基本单元ABCD可以被划分成三个部分:一个在中间的︱θ︱≤θ*,两边部分对应于θ*≤π/6和-π/6≤-θ*.从计算的角度考虑,可在︱θ︱≤θ*时,用式(4)给出的绝缘层的等效寄生电容和用式(7)给出的在θ*<︱θ︱≤π/6 时,空气隙里的寄生电容来代替式(8)的等效电容.最后可以得到等效绝缘层中寄生电容的表达式:(11)在θ*以︱θ︱≤π/6对式(7)积分,则得到:(12)角θ*对应于图6中的交点,可由表达式(4)与式(7)得到:(13)式中,Dc是导经(不包括绝缘层)的直径.整理式(13)得到:(14),基本单元总的寄生电容等于各个部分寄生电容的并联:(15)式中的θ*由式(14)算出.
6 总寄生电容
为了确定图1所示的电路的绕组的寄生电容,可采用线匝——线匝间电容值Ctt和线匝——铁心间电容值Ctc的计算方法;图2所示的多层线圈的等效的层——层之间和层——铁心间的电容值,可用一个由集总参数电容构成的网络去解决问题.实际上,在高频范围内,线匝间的电容Ctt的并联电抗要比RLM支路的阻抗小得多.在高频条件下工作时,线匝的感抗和阻抗可以忽略不计(因为它们处于开路状态),所以,电容网络被假设为计算全部线圈寄生电容的等效电路.在低频工作时,线圈的感性阻抗具有支配影响,故这个办法是不完善的.图7出示了一个单层线圈绕制在同一铁心上的集总电容网络.该线圈的总寄生电容Cn可看作由n-1个线匝——线匝间电容串联的等效电容.Cn = Ctt /(n-1),(16).图7带铁心的单层绕线圈的集总电容网络应该注意到,与前面所作的假设计算相比,式(16)的计算精度比较低.
6.1 带铁心单层线圈的总寄生电容
对于如图7所示的一个匝数为n的带铁心单层线圈的集总电容网络可用作求解总寄生电容,n为任意数.为了简化计算线匝与铁心间的电容,将人为地把尺寸缩小,即把铁心(或屏蔽层)视为一个简单的节点,在此可以利用线路的对称性将所有的线匝——铁心(或线匝——屏蔽层)的电容都联起来.
对于由很多线匝构成的绕组,应首先计算中间的两匝,这时n=2,网络由匝间电容C12和相互平行的线匝——铁心电容C1C与C2C的串联组合而成.因为C1C=C2C=2Ctt,则两匝间的等效电容可以写为:Cn = Ctt + 2Ctt/2 = 2Ctt .
对于匝数为奇数的线圈,则应首先计算线圈中间的三匝;对于n=3的电容网络的等效电容,可把C2C分成两等份来计算,如图8所示,运用△/Y变换,其结果是Ctt/2 + Ctt/2 = Ctt/2 + 2Ctt/2 = 3/2 Ctt .因为等效电路的对称性,这一结论也可以从观察C2C对等效电容是无影响的而得出.
为了计算由4匝或5匝构成的线圈的总寄生电容,可以在2匝或3匝线圈的两边加上几匝,其总电容等于前面计算的电容与几个线匝——线匝间电容串联及几个线匝——铁心电容的并联.当n=4时,(17),当n=5时,(18),同时在每一匝两边加匝或几匝,则可计算出任何匝数的线圈的寄生电容.所以,当n=n时,(19)
式中,Cn(n-2)是(n-2)匝的线圈的寄生电容.从式(19)可以看到,随着线圈匝数的增加,数列Cn(n)迅速收敛,Cn≈1.366 Ctt (n≥10) (20).
6.2 不带铁心的两层线圈的总寄生电容
图8 绕于铁心上的三匝线的电容
可以用以上的类似计算方法计算两层不带铁心线圈的寄生电容.在此,假定第二层的匝数远少于第一层且绕向相反.对应于匝数n的增加,可获得连续的电容值,并迅速收敛于Cn≈1.618 Ctt, (n≥10),(21).
6.3 带铁心的两层和三层线圈的总寄生电容
按照以上同样的假设,当线圈有铁心时,n匝线圈的总寄生电容收敛于:Cn≈1. 83 Ctt(n≥10),(22)由以上讨论可见,两层线圈比单层线圈有更大的寄生电容,在高频工作时且有更高的阻抗,因而两层线圈不合适在高频下工作.虽然三层线圈的总寄生电容减小了,但集总电容网络变得更复杂了,对n>10的三层不带铁心的线圈(如图2所示),其电容值收敛于:Cn≈0. 5733 Ctt,(23),由式(23)可见,三层线圈的寄生电容比两层线圈的寄生电容小得多,但当层数增加时,临近效应的影响将增大,因而高频工作时应使用单层线圈电感.
7 理论计算结果与实际情况的对照
现在以一经验证用的带铁心变压器单层绕组为例,与理论计算进行对照.
该线圈直径为Dt=14.3m,匝数为95匝,则匝长为 lt = πDt = 3.14×14.3 = 44.925㎜.导线内外径分别为Dc=0.45㎜,Do=0.495㎜,所以,绝缘厚度S=0.0225㎜.非浸渍铁心的绝缘层的介电常数εr = 3.5.由式(14)、(15)和(20)可计算得出θ*= 0.2339rad ≈13.4°,Ctt = 5.318PF, Ds=7.26PF,电感量L=75.1μH.由上列数据可得出该电感器的谐振频率 .
我们用HP4194A阻抗/相位增益分析仪对该电感器进行测量.在100KHZ时其电感量L=75.1μH;测试所得谐振频率为fr=6.2MHZ总寄生电容为Cs=8.77PF.自谐振频率的误差是9.68%,固有电容的误差是 -17.2%.用表达式(9)可以计算Ctt:(24)由此值可见,线匝——线匝间的寄生电容Ctt比使用式(15)得出的值要小.因为式(15)是经过近似处理的,故在此前提下,其结果仍然是一致的.
8 结论
以上提出了检测电感器线圈的寄生电容的方法,得出了计算寄生电容的简单表达式.随着导线绝缘层的增加,寄生电容减小.
上述方法适用于对单层和多层线圈的寄生电容的预测,也提出了匝数和层数对寄生电容的影响程度.
本得所做的工作是:
a、提出了计算电感器的寄生电容的方法与表达式.
b、这些方法可以适用于单层和多层线圈.
c、用此方法和模型对高频工作的电感器的设计和模拟是简单而且准确的.
