写这篇文章的目的是对于最近学习电路环路稳定分析的一个总结，也是个人对于环路知识的重新梳理和分析，写的地方肯定有错误以及遗漏，大家如果发现其中的问题，希望大家能够发出来一起讨论，大家一起学习。
在具体的电路分析之前，先来说一些在后续具体的电路分析中会用到的知识点
传递函数
传递函数是指零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。本来是想将传递函数的定义讲一遍的，但是发现这样的话需要讲傅里叶变换和拉普拉斯变换了，这两个东西没个几千字讲不清楚的，而且考虑到这篇文章的重点还是实际电路分析技巧，所以大家如果对拉普拉斯变换不懂的话，去看看大学里学习的《电路》或者《电路分析》这本书。所以接下，就简单的描述一下。
在电路中，可以把部分电路当作是一个整体系统，这个系统是线性时不变系统，系统存在输入和输出，传递函数就是输出和输出的比值。以一个RC低通滤波器为例：
得到传递函数：
由于传递函数等于输出/输入，所以也可以把它称作增益（G），只不过这个增益(G)的自变量是频率。得到传递函数，就能绘制出相关的幅频特性曲线和相频特性曲线，这个曲线图就是伯德图。
在实际的电路稳定性分析中，伯德图是十分重要的手段，所以先简单说一下伯德图是什么，伯德图的中文别称很多，有叫波德图、波特图，英文 Bode Plot 或 Bode Diagram。伯德图是频率域分析的工具，不同于我们常用的时域分析，即横坐标是时间（t）。伯德图应用在频域分析上，即横坐标是频率（f），完整的伯德图有两张图构成，一张是幅频特性图，表示某系统的频率响应幅值对频率的变化；另一张相频特性图，表示相位对频率的变化，两张图的横坐标都是频率，同时以对数的形式表示，例如：1Hz、10Hz、100Hz、1kHz、10kHz、100kHz。
而纵坐标一般使用分贝来表示，单位是dB，即：20log10（Gain），20dB表示增益10，0dB标识增益1。在Tina-Ti中，可以通过仿真得到伯德图，在分析—交流分析—交流传输特性，可以得到。
例如：我们搭建一个1k欧姆的电阻和一个100nF电容构成的低通电路，在输入端放置一个电压发生源，输出放置电压指针，这样执行交流分析，我们就可以得到这个低通系统的伯德图。
那么，这个图代表的意义是什么呢？
先说结论，伯德图的作用，就是直观的看出系统的增益随频率变化的特性，以及相位随频率变化的特性。同时，伯德图的幅频特性曲线就是系统的增益（传递函数）曲线。
我们可以把上面的电阻和电容当作一个系统，VG是外部输入的信号，这个信号的频率种类非常多，频率从1Hz到1MHz，但是各个频率信号的幅度都是相同的，注意，我们不论是伯德图还是说滤波器的截止频率，都是默认信号都是正弦波。
但是经过了这个系统，在幅度上，有些频率的信号完全没有变化，有的变小了，在相位上，不同频率之间的相位开始有了不同。我们取1.59kHz频率的信号为例，1.59kHz的信号经过这个系统后，我们从伯德图上可以看出，在上面的幅频特性图中，它的幅值变为了-3.02dB，也就是原来幅值的0.702，在下面的相频特性图中，它的相位较原来移动了45°。
接下来，我们来实际测量一下，将VG1设置为1.59kHz的正弦波，幅值1V，用VI来标记，输出用Vo来标记，能够看出，Vo相较于VI确实存在相移，而且幅度也减小了。将测量图放大，可以看出，Vo相较于VI的幅值确实变为0.702，也存在45°的相移。
这个，就是伯德图的作用，就是直观的看出系统的增益随频率变化的特性，以及相位随频率变化的特性。由于幅频特性和相频特性是频率域分析最重要的两个参数，系统的表现如何、是否稳定，几乎完全依赖于这两个特性，所以，通过分析系统的伯德图，就可以进行稳定性分析。
在我们使用伯德图之前，我们还需要了解伯德图使用过程中会出现的两个“点”：零点和极点。这两个点在信号与系统中出现的频率很高，在实际的电路设计中，比较常见的是在有源滤波器的设计中。
先说极点，极点在伯德图中的特征：
在波特图的幅频特性曲线上，极点频率fp之后增益会按 -20dB/decade或 -6db/octave斜率下降。在极点位置，增益为直流增益减去 3dB。在相频特性曲线上，在极点频率fP上，相移已经有45°，而一个极点会给系统带来90°的相移。
备注：
decade（十倍频程）——频率按 x10 增加或按 x1/10 减小，从 10Hz 到 100 Hz 为一个 decade（十倍频程）。octave（倍频程）——频率按 x2 增加或按 x1/2 减小，从 10Hz 到 20 Hz 为一个 octave（倍频程）
在实际的分析中，一般使用decade即10倍频程来进行分析
计算极点的频率：
极点是使系统传递函数无穷大的解，以RC低通滤波器为例，系统的传递函数:
计算极点：
转换一下得到极点频率fp：
（备注：前提条件S=jw，涉及到拉普拉斯变换和傅里叶变换的转换）
设定R=100K，C=1uF，计算得到fp=1.592Hz
使用Tina仿真，可以看到极点的频率是1.59Hz，增益是-3dB，相移-45°，与我们的计算符合。
接着是零点，零点在伯德图中的特征：
在波特图的幅频特性曲线上，零点频率fp 之后增益会按+20dB/decade或+6db/octave斜率上升。在零点位置，增益为直流增益加上 3dB。在相频特性曲线上，在零点频率fo上，相移已经有45°，而一个极点会给系统带来90°的相移。
计算零点的频率：
零点是使系统传递函数为0的解，普通的高通滤波器虽然有零点，但是零点频率在0Hz，伯德图上看不够直观，所以使用2只电阻搭配1个电容。
系统的传递函数是：
这个系统存在一个零点和一个极点。
零点：
转换一下得到零点频率fo：
极点：
转换一下得到极点频率fp：
设定R1=10M，R2=100，C=100pF，计算得到零点频率fo=159.23Hz，极点频率fo=15.9MHz。
使用Tina仿真，可以看到极点的频率是1.59Hz，增益是-3dB，相移-45°，与计算值相符。
好，了解了伯德图以及零点和极点，我们就可以正式进入我们的初级电路分析了。在有负反馈结构的电路中，输出的信号会反馈回到输入端，
首先，先以一个常用的运放电路为例搭建模型，下面是一个非常常见的同向放大电路，这个电路学过模拟电路的肯定都见过。
先写出这个电路的增益（传递函数），运放的输出
运放的输出Vo经过R1和R2分压后，送回到了运放的负端输入（V-）。所以运放的负端输入：
将R1/R2设定为F，即：
这样，上面的同向放大电路我们就可以建立起一个模型：
得到增益（传递函数）：
大家有没有想过，要是Aol*F=-1会怎么样呢？要是Aol*F=-1，上面的公式分母就为零了，从数学上公式就不成立了。
有人肯定会说，怎么可能为负数呢？Aol是正数，F也是正数，不可能呀。
需要注意的是，上面的系统增益公式自变量是频率，首先，Aol*F是可以为1的，在模电学习的时候，很多时候把Aol当作一个非常大数，从而把他忽略，因为这时候的分析一般是用作直流分析，计算直流点，在0Hz的时候，运放的开环增益确实很大，但是运放的开环放大倍数Aol是随着频率的增加而不断减小的。
以AD8542为例：
在幅频特性曲线上，在1kHz的时候，有60dB的开环增益，在大约1MHz的时候，开环增益Aol就为0dB（增益1）了。
那么-1又是怎么一回事呢？
简单来讲就是相位产生了180°的相移，即运放的开环增益Aol为1（0dB）时，运放的输出Vo相较于运放的输入Vi，产生了180°的相位偏移。
这样，电路就从负反馈变成了一个正反馈，这样，运放的输出就开始不断的增大。
在实际电路中，表现就是输入信号Vi中任何小变化（例如噪声，小毛刺）都会导致Vo产生剧烈的震荡。
那怎么衡量这个系统到底稳不稳定呢？
判断的指标就是相位裕度，这个词大家肯定都听过，但是很多人都是听过，怎么用，不晓得，代表啥意义呢？更不明白。
先说一下结论，判定这个系统稳定的条件：
在 Aol*F= 1 (0dB) 时的频率上，相移< +/-180°
同时该频率上的相移量距离180°的差值≥ 45°，这个值就是相位裕度。
单纯说文字有点难理解，先用一个简单的示例：
用OP07来搭建一个跟随器电路，然后判断这个电路的稳定性。
由于F=1，所以系统增益等于
这样，我们只需要判断运放OP07的开环增益Aol就可以了，OP07的开环增益图可以在数据手册中找到：
在OP07的开环增益幅频曲线中，可以看到OP07有两个极点，第一极点大约在2Hz，增益117dB，第二极点大约在1-2MHz，增益-15dB左右。
图中只绘制了幅频特性曲线，没有相频特性曲线，上面我们说过了，一个极点会产生90°的相移，在极点频率处的相移是45°。根据这个特征就能够绘制出相频特性曲线，得到完整的伯德图：
可以看到，OP07的开环增益为1（0dB）时，相移是大约121.5°，频率是大约1M，距离180°的相移还有180°-121.5°=58.5°。得到：
在 Aol*F= 1 (0dB) 时的频率（1M）上，相移121.5°，< +/-180°
同时该频率（1M）上的相移量距离180°的差值为58.5°≥ 45°。
判定该系统稳定，相位裕度为58.5°。
到这里，有些朋友应该能总结出来了，只要运放的开环增益中的第2极点位于0dB线下，用作跟随器就没问题，有些朋友应该遇见过一些特别的运放，这类运放写明了最小放大倍数，因此这类运放不能用作跟随器，原因就是这类运放的第2极点位于0dB线以上。
