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如何使用伯德图进行电路稳定性分析(3)

在上一章,给大家讲解了一种基础的判断系统稳定性的方法,闭合速度法,接下来,我将要用一个实际的电路例子,使用闭合速度法来一步一步的分析和补偿电路,每一步都会绘制出相应的伯德图,这个过程可能略有拖沓。

在这里,我使用的例子是曾经在论坛上比较火的一篇帖子《一步一步做一个电流源》,这篇文章是我学习的启蒙文章,作者每一步都给出了伯德图,但是由于年代久远,该作者绘制的伯德图观感不好,纵坐标和横坐标都没有表明,也没有具体的零极点计算过程,所以很多人的观感是能看懂,但又仿佛没看懂。而且,该作者的计算和补偿措施也存在没有考虑到的地方,所以这个例子也能暴露出闭合速度法的缺点。

原作者在前半段都在模型搭建,由于我们的重点是稳定性分析和补偿措施,所以这里直接开始分析成品电路,原作者这里未补偿的电路十分简单和常见,使用OP07搭配NMOS管,构成一个恒流源电路。我们先来分析一下这个电路的稳定性。

MOS管可以等效成一个压控电流源,ID=Vgs*gm,Ro是运放的输出电阻,MOS管的S极是经过Rs到地的,MOS 管的Vgs电压还受到采样电阻RS的影响,这样写出Vgs关于Vin的传递函数就比较复杂,不利于简化分析。

原作者这里将MOS管的S极当作地,理由是采样电阻Rs够小,只有3欧姆,将Cgs脱离Rs接地后,Vgs就不用收到Rs的影响,这样做的影响我们后面再提。

这样,我们就可以得出一个比较简单的系统传递函数了,先看信号流向,信号Vin经过运放OP07,输出到MOS管的gs之间,变成Vgs,Vgs经过MOS管变成输出电流ID,ID乘以反馈电阻Rs变成运放的负端输入。这样,输入信号Vin经过3极增益,和1极反馈。返回到负端,这3极增益分别是1、运放放大增益G(S)。2、运放的输出电阻与MOS管GS电容的低通增益Glf(S)、3、MOS管变换增益Gmos(S).1极反馈是反馈增益F(S)。就可以得到系统框图:

接着,分析每一级的具体参数,第一级增益运放放大增益G(S)就是运放的开环增益,可以在数据手册中查看,如下图,这里我使用的图是ADI的OP07。

第二级,低通增益Glf(S),由OP07的输出电阻Ro和NMOS的输入电容Cgs组成。由于一般的运放输出最大电流大约20mA,所以原作者在这里取Ro=200Ω,MOS管的型号是IRF530,但是原作者没有写全型号和厂家,所以这里我选择英飞凌的IRF530NPBF,取最大值 1.2nF ,RL取100欧姆,这样MOS管VDS=14V,这样可以确定MOS管是工作在恒流区,ID由Vgs决定,得到传递函数如下。大家可以思考一下这里Ro和Cgs的取值合不合理。

得到:

第三级,MOS管变换增益Gmos(S),这里Gmos(S)等于MOS管的跨导gm,输出最大电流100mA,原作者在这里取2,这里的取值其实是存在问题的,因为ID的电流最大只有100mA,gm是到不了2的,ID取100mA的情况下,取0.25是比较合适的,Gmos(S)=0.25

反馈增益F(S),由于第三级输出的是电流ID,电流ID经过反馈电阻Rs反馈到运放的负端输入,所以反馈增益F(S)就是Rs电阻本身,Rs等于3欧姆。F(S)=3

这样,每一级的增益我们都得到了,接下来我们要考虑怎么把他们组合到一起,这里再提一下判断稳定性的方法,即判断环路增益在0dB时的相移,系统的环路增益是G(S)* Glf(S)*Gmos(S)*  F(S),使用闭合速度法,将环路增益拆成两条曲线,可以把这4个增益自由组合成两条曲线,把运放的开环增益G(S)和反馈增益F(S)组合一起,因为电阻是固定的,而运放的开环增益只能通过运放手册得到,叠加Glf(S)和Gmos(S)这两个非固定的增益分析起来就不够直观,所以这样绘制出20log{G(S)* F(S)}和20log{1/(Glf(S)*Gmos(S))}的曲线就可以了。

先绘制出运放放大增益G(S)*反馈增益F(S)的伯德图,20log{G(S)* F(S)}=20log(G(S))-20log(1/F(S)),反馈增益F(S)=3,1/ F(S)=1/3,20log(1/F(S))等于-9.5dB,所以20log{G(S)* F(S)}的曲线就是运放的开环增益+ 9.5dB。OP07的0Hz的增益大约是112dB,从图上看,第1极点在1.5Hz左右,第二极点在1.3MHz左右。

得到G(S)*F(S)的伯德图,G(S)*F(S)曲线存在两个极点,fp1和fp2,都是运放OP07的极点:

最后绘制出20log{1/(Glf(S)*Gmos(S))}的曲线,这里暂时取Gmos(S)=0.25,Glf(S)=1/(S*RC+1),得到整体的传递函数,

可以看出,20log(R*SCgs+1)存在一个零点fz1,该零点频率是:

得到20log{1/(Glf(S)*Gmos(S))}的伯德图曲线:

最后,将两幅图结合起来,就可以得到整个系统的伯德图曲线了:

能够看出,两条曲线的闭合速度是20dB/decade,系统是稳定的。但是,我们能够看到,蓝色线只要零点往左移动一点,或者向下移动一点,那么系统就会不稳定。

这样,由于我们设定的Cgs为1.2nF,但是,这是我们没有考虑密勒效应,以及布板时的寄生电容,所以,Cgs是有概率比1.2nF大的,而且Ro也不会就是200Ω,即Glf(S)级的极点频率变低。

此外,就是gm的影响了,目前是100mA的电流,所以gm小于1,但是一旦ID电流增大,gm是会大于1的,这样,曲线下降,就会导致闭合速度超过20dB/decade,系统不稳定。

从上面的图可以看到,主要就是Cgs和Ro产生的极点,导致整个系统的0dB线上可能出现第二极点,所以首先,先考虑对输出电阻Ro和Cgs的补偿。这里有两个思路来进行补偿:

1、尽可能的将Ro和Cgs的极点频率fz1尽可能提高

我们上面看到不稳定的情况下是,Cgs或者Ro的增大,导致Ro和Cgs构成的极点频率变低,那么,我们只要把这个极点频率提高到足够高,那么,即便是布线时存在寄生电容,也不会产生什么影响。

由于Cgs电容客观存在,是MOS管的固有属性,所以我们可以尽可能的降低运放输出电阻Ro,可以在运放的输出端加一级设计跟随器即可,设计跟随器的输出阻抗足够低,可以将极点频率提的很高。

2、Ro和Cgs会构成一个极点,那么,在增加一个零点来抵消掉Ro和Cgs的极点,这样也能补偿,所以,在运放的输出输出增加一个电阻电容(Rg,Cs)并联即可,但是该种补偿方法就不适用于需要快速响应的电路,因为让Cgs电容充电是客观存在的,增加的电阻会延长Cgs充满的时间。串联的Rs和Cs会和运放输出电阻Ro和输入电容Cgs会构成2个极点和1个零点。原作者这里选用的第二种。

原作者在这里写的比较简略,这里,我们来详细分析一下。先写出这个系统的传递函数,这里是已经简化过式子。

先计算零点,零点很简单,就是分子为零的点,得到零点频率fz2:

极点就有点复杂了让分母为0,得到:

由于Ro的存在,解变成了一个二元一次方程,解得到:

原作者在这里是把Ro当作0来计算,这样第2个极点fp2的频率就会相当大,整个系统可以当作是一个极点和一个零点构成的。但是Ro=200Ω其实就不能无视他了。

原作者在这里取Rg=3.9kΩ,Cs=100nF,按照Ro=200Ω,Cgs=1.2nF来计算,得到新的Glf(S)级会产生一个零点fz1=410Hz,两个极点分别是fp3=400Hz和fp4=671kHz。得到下图,由于极点和零点的频率十分相近,所以整个系统其实只有一个极点,但是这时的极点频率是671kHz。依旧是一个不近不远的十分尴尬的频率。

与原来相比几乎没有任何变化,所以,在计算时,有些参数确实可以省略,但是一定大概计算一下大致范围,想上面的补偿,不仅没有达到补偿的效果,而且还降低了整个系统的瞬态特性,gm一旦增大,系统仍然是存在不稳定的。

根据上面的公式,可以得到,想要比较好的补偿的效果,就是把第二极点的频率尽可能的增大,但是在Ro=200Ω,Cgs=1.2nF的条件下,始终无法将第二极点的频率增大的同时,保持第一极点和零点的频率足够低。所以,在该模型下,这样的补偿的措施效果有限,注意哈,我这里说的是模型,不是真实情况。最后我们在讨论实际情况。

最后,得到补偿后原理图

从伯德图上看,1/(Glf(S)*Gms(S))的第2零点fp4与G(S)*F(S)的距离依旧太近,还是需要在增加一个额外的补偿措施,思路就是既然1/(Glf(S)*Gms(S))的第2零点与G(S)*F(S)的太近,那我们就增加一级增益,想办法把这个点给推远一点。

这样,Rf和Rc,Cf构成一个新的增益级。命名为Gff(S),这样系统框图就变为:

这样,我们还是把Glf(S),Gmos(S),Gff(S)组合到一起,得到:

1/{Glf(S)*Gmos(S)}的曲线我们前面已经画出来,所以只需要画出Gff(S)的伯德图就行了,先写出Gff(S)的传递函数:

得到零点频率fz3:

极点频率fp5:

原作者在来这里取Rf=1kΩ,Rc=470Ω,Cc=100nF,得到fz3=3kHZ,fp5=1kHz。

得到伯德图:

在带入整体的伯德图来看:

可以看到,对比刚刚,可以看到,效果比未补偿前好了很多。但是一旦负载电流增大到A级别,gm的增大仍然有可能使得紫色曲线下移。但是对于100mA的系统来说,这样就差不多了。

最后我们在总结一下,乍一看我们在上面的分析中貌似是考虑得挺全面,似乎这是一个比较贴近实际的分析过程,但是,很不幸,我们在上面的分析依旧是建立一个比较理想化的模型上,一些重要的零点和极点,我们都没有分析,这也是有很多前辈在分析比较大电流的系统时,明明相位裕度计算出来已经很高了,但是系统依旧是处于一个比较低相位裕度的状态。

下一章,我将来分析在这个分析过程中,到底缺失了哪些重要的地方,以及这些缺失的零极点会对我们的系统造成什么样的影响。

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