上一篇我们对LLC的模型进行分析和等效模型的建立，本文将根据模型中的电气特性，分析LLC如何工作使得输出稳定的？稳定的输出是由哪些量决定的？这些量之间又存在哪些关系呢？
在了解上述问题之前，我们先要分析一下电气变量的关系。【接上一篇文章】
在输入侧，方波电压（Vsq）的基波电压为：
它的RMS为：
在输出端，由于 Vso 近似为方波，因此基波电压为：
其中 φV 是 Voe 和 Vge 之间的相位角，RMS 输出电压为：
对应于 Voe 和 Ioe 的电流的基波分量是：
其中 φi 是 ioe 和 voe 之间的相位角，RMS 输出电流为：
那么交流等效负载电阻 Re 可以计算为：
由于图 1b 中的电路是单频正弦交流电路，因此可以按照与所有正弦电路相同的方式进行计算。 角频率为：
化简得到：
Cr、Lr 和 Lm 的容抗和感抗分别为：
励磁电流有效值为：
串联谐振电路中的循环电流为：
建立电气变量的关系后，下一步是进行电压增益函数推导。
自然，输入电压和输出电压之间的关系可以用它们的比率或增益来描述：
如前所述，将直流输入电压和输出电压转换为开关模式，然后等式（15）可以近似为双极方波电压（Vso）与单极方波电压（Vsq）之比：
交流电压比 Mg_AC 可以通过使用基本分量 Vge 和 Voe 分别代替方程（16）中的 Vsq 和 Vso 来近似：
为简化符号，此处将使用 Mg 代替 Mg_AC。 从图 1b 中，Voe 和 Vge 之间的关系可以用电参数 Lr、Lm、Cr 和 Re 来表示。 然后输入到输出电压增益或电压传递函数变为：
等式 (18) 描述了从输入电压 (Vin) 到输出电压 (Vo) 的连接，该连接与具有 LLC 电路参数的 Mg 相关。 虽然这个表达式只是近似正确，但实际上它足够接近串联谐振附近。 接受近似为准确允许方程（19）写成：
换句话说，可以在知道 Mg、n 和 Vin 之后确定输出电压。
电压增益函数的归一化格式
等式 (18) 描述的电压增益函数以具有绝对值的格式表示。 很难对这种格式的设计问题进行一般性描述。 最好用规范化的格式来表达。 为此，可以选择串联谐振频率 (f0) 作为归一化的基础。 然后归一化频率表示为：
此外，为了将两个电感合二为一，电感比可以定义为：
串联谐振电路的品质因数定义为：
请注意，fn、Ln 和 Qe 是无单位变量。
在这些定义的帮助下，电压增益函数可以被归一化并表示为：
输入和输出电压之间的关系也可以从等式（23）获得：
电压增益函数的特性
等式 (23) 表示的电压增益函数和图 1b 中的电路模型构成了本主题所述设计方法的基础； 因此，有必要了解 Mg 如何作为三个因素 fn、Ln 和 Qe 的函数。 在增益函数中，频率 fn 是控制变量。 Ln 和 Qe 是虚拟变量，因为它们在确定物理参数后就固定了。 设计完成后，通过 fn 调整 Mg。 因此，解释增益函数如何表现的一个好方法是在给定条件下从 Ln 和 Qe 的值族中绘制 Mg 与 fn 的关系图。
图 2. 具有不同 Ln 值的电压增益函数 (Mg) 图。
图1a到1d说明了几种可能的关系。 每个图都由一个固定的 Ln 值（Ln = 1、5、10 或 20）定义，并针对变量 Qe 显示具有九个值（从 0.1 到 10）的曲线族。 从这些图中，可以得出几个观察结果。
Mg的值不小于零。 这是显而易见的，因为 Mg 来自模数运算符，它描述了一个包含实数和虚数的复杂表达式。 这些数字代表幅度和相位角，但在这种情况下只有幅度有用。
在给定的 Ln 和 Qe 内，Mg 在电路谐振频率附近呈现凸曲线形状。 这是一条典型曲线，显示了谐振转换器的增益形状。 对应于谐振峰值（fn_c0，或 fsw = fc0）的归一化频率随着负载的变化而移动，因此对于给定的 Ln，也随着 Qe 的变化而移动。
改变 Ln 和 Qe 将重塑 Mg 曲线并使其与 fn 不同。 由于 Qe 是由方程 (9) 和 (22) 描述的负载函数，因此 Mg 呈现了一系列将频率调制与负载变化相关联的曲线。
无论使用 Ln 和 Qe 的哪种组合，所有曲线都会收敛并通过 (fn, Mg) = (1, 1) 点。 该点位于 fn = 1 处，或来自公式 (20) 的 fsw = f0。 根据串联谐振的定义，在 f0 处 XLr– XCr = 0。 换句话说，Lr 和 Cr 两端的压降为零，因此输入电压直接施加到输出负载，从而导致单位电压增益 Mg = 1。
请注意，工作点 (fn, Mg) = (1, 1) 与负载无关； 即，只要增益 (Mg) 可以保持一致，无论负载电流是多少，开关频率都将处于串联谐振频率 (f0)。 换句话说，在工作点位于 (fn, Mg) = (1, 1) 或其附近的设计中，频率变化被缩小到最小。 在 (fn, Mg) = (1, 1) 处，假设没有寄生功率损耗，串联谐振电路的阻抗为零。 然后，无论负载电流变化多少，整个输入电压都会施加到输出负载。 然而，远离(fn, Mg) = (1, 1)，串联谐振电路的阻抗变为非零，电压增益随着负载阻抗的不同而变化，相应的操作变得依赖于负载。
对于固定的 Ln，增加 Qe 会缩小曲线，导致频率控制带变窄，这是预期的，因为 Qe 是串联谐振电路的品质因数。 此外，随着整条曲线向下移动，Mg的对应峰值变小，对应于该值的fn向右移动并接近fn=1。这种随着Qe增加的频移是由于负载增加。 回顾方程 (9) 和 (22) 很明显Qe 的增加可能来自 RL 的减少，因为 Lm 和 Lr 都是固定的。 对于相同的串联谐振频率，Cr 也是固定的。 RL 与 Lm 平行，因此减少 RL 将减少 Lm 的影响并将 fc0 移向 f0。 作为一个简单的例子，检查两个极端是有帮助的：
1、如果 RL 开路，则 Qe = 0，并且 fc0 = fp，如等式 (2) 所述。 fc0 位于 f0 的最左边，对应的增益峰值非常高，理论上可以无限大。
2、如果 RL 短路，则 Qe = ∞ 并且 Lm 被完全旁路或短路，使得 Lm 对增益的影响消失。 然后来自 Lm 效应的相应峰值增益值变为零，并且 fc0 一直向右移动，与 f0 重叠。
3、因此，如果 RL 从无穷大变为零，则谐振峰值增益从无穷大变为 1，峰值谐振处的相应频率 (fc0) 从 fp 移动到串联谐振频率 (f0)。
对于固定的 Qe，Ln 的减小会缩小曲线； 整个曲线被挤压，fc0 向 f0 移动。 这导致更好的频率控制带具有更高的峰值增益。 有两个原因。 首先，当 Ln 由于 Lm 减小而减小时，fp 越来越接近 f0，从而挤压了从 fp 到 f0 的曲线。 其次，降低的 Ln 会增加 Lr，从而导致更高的 Qe。 如上所述，较高的 Qe 会缩小曲线。
乍一看，Ln 和 Qe 的任何组合似乎都适用于转换器设计，并且可以在 fn = 1 的任一侧运行 fn 来进行设计。但是，下一篇文章会讲述LLC在设计时的更多考虑！