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傅里叶变换的提出让人们看问题的角度从时域变成了频域，多了一个维度。快速傅里叶变换算法的提出普及了傅里叶变换在工程领域的应用，在科学计算和数字信号处理等领域，离散傅里叶变换（DFT）至今依然是非常有效的工具之一。
1. 傅里叶变换
傅里叶变换的物理意义是把时域复杂的信号在频谱中分解出来，时域无法确定信号有哪些频率，但是在频域上看就非常清晰。
比如下图，信号y含有0.9v@25Hz、0.4V@250Hz、0.6V@412Hz的三种频率成分，在时域单单看波形的话就比较难区分出这三种频率。
y = 0.9*sin(2*pi*25*t) + 0.4*sin(2*pi*250*t) + 0.6*sin(2*pi*412*t);
但是经过傅里叶变换以后，在频域看，就非常清晰了。三种信号频率以及幅值跃然纸上。
傅里叶变换在我们工程应用中的地位永垂不朽，本文举例介绍下FFT与PWM的应用。
2. PWM信号
PWM是脉冲宽度调制的意思，占空比D是高电平持续的时间/周期，占空比越小，PWM信号越窄；反之，PWM信号就越宽。
对于上面幅度为1V，1Khz，占空比为10%的PWM波形，进行傅里叶变换后，可以看到在直流处的电压幅值为0.0996V,在1Khz处的幅值为0.196V，在2Khz。。。。。以此类推，入下图所示，PWM信号是由无数个不同频率的正弦信号组成的，这是FFT给我们的结论。
我们增加PWM的占空比到50%，也就是变成方波信号，傅里叶变换如下，直流幅值增加到0.5V，1Khz幅值增加到0.637V，可见相比于10%占空比，低频信号幅值增加。
我们继续增加占空比到90%，低频直流成分继续增加，接近0.9V。
让我们连续的看下随着PWM占空比的增加，直流成分也逐渐增加的过程，红线波形是输入的PWM信号，蓝色波形是滤波后的信号，以低频为主。
画出DC直流幅值随占空比的变化如下，可以明显看到占空比越高，直流幅值就越多。
PWM不同占空比，在频率上会有不同的频率信息，我们可以把我们的信息调制到PWM信号的脉宽上，这就是PWM调制的基本原理。
3. FFT与PWM的应用
那么这有什么用呢？利用FFT的原理，在PWM信号后面加一个低通滤波器，我们就可以通过调制PWM信号的占空比，来产生我们想要的不同幅值的直流信号。
比如使用10Ω电阻、470uF电容构成截止频率为33.88Hz的低通滤波器。
在占空比为10%时，其输出是100mV的接近直流的信号，与前面分析结果一致。
占空比增加到50%时，其输出是500mV的直流，与前面分析结果一致。
占空比增加到90%时，其输出是900mV的直流，与前面分析结果一致。
我们就是这样，通过调制PWM的占空比，进而得到我们想要的不同幅值的直流信号，本文只以一阶低通为例，如果阶数高一些，滤波效果会更好。这个原理就是FFT，PWM信号具有不同频率成分，其直流幅值也不同，通过低通滤波器后，抑制掉其中的高频成分，就剩下不同幅值的直流了。
PWM与低通滤波器的具体应用，在手机的无线充电中就有使用，我在以前的文章《这种基于PWM反馈的电源控制策略，你了解吗？》有过更深刻的介绍：https://www.dianyuan.com/eestar/article-3926.html
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