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长期以来，有一个幽灵，一直盘旋在广大电子爱好者的脑海中，那就是基尔霍夫定律。我们在看一些电子电路相关文章的时候，经常会看到作者提到“根据基尔霍夫定律”，然后吧啦吧啦一大堆，每到此时，我的表情总是这样的。

今天，我们来一起学习基尔霍夫定律（Kirchhoff Circuit Laws）。

一般来说，年代越久远的知识越好学，刚刚新鲜出炉的物理学论文你肯定看不懂。幸运的是基尔霍夫定律出现的比较早，它是在 1845 年，由德国科学家古斯塔夫·基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff）提出的。距离现在将近两百年了，我们要有信心能学会一百多年前的知识。

基尔霍夫定律指的是两条定律，第一条是电流定律，第二条是电压定律。下面我们分别讲。

基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律，英文是 Kirchhoff's Current Law, 简写为 KCL。

基尔霍夫电流定律指出：流入电路中某节点的电流之和等于流出电流之和（Total current entering a junction is equal to total current leaving it）。

用数学符号表达就是：

其中，Σ 符号是求和符号，表示对一系列的数求和，就是把它们一个一个加起来。

举个例子, 对于下面这个节点，有两个流入电流，三个流出电流

对于上面节点，流入电流之和等于流出电流之和：

为了方便记忆，我们将 KCL 总结为：

基尔霍夫电流定律也被称为基尔霍夫第一定律（Kirchhoff's First Law）、节点法则（Kirchhoff's Junction Rule），点法则，因为它是研究电路中某个节点的电流的。

我们可以用张艺谋的电影 一个都不能少 来助记这条定律。

基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律，英文是 Kirchhoff's Voltage Law, 简写为 KVL。

基尔霍夫电压定律指出：闭合回路中电压升之和等于电压降之和（In any closed loop network, the total EMF is equal to the sum of Potential Difference drops.）。

如果我们规定电压升为正，电压降为负，基尔霍夫电压定律也可以表达为：闭合电路中电压的代数和为零（Algebraic sum of voltages around a loop equals to zero.）。

用数学符号表达就是：

为了方便记忆，我们可以将 KVL 总结为：

基尔霍夫电压定律也被称为基尔霍夫第二定律（Kirchhoff's First Law）、回路法则（Kirchhoff's Loop Rule），网格法则。

升压还是降压？

在用基尔基霍夫电压定律分析电路问题时，确定器件是升压还是降压是至关重要的。

升压还是降压由两个方向决定，一个是电流的方向，一个是绕行方向。电流方向就是传统电流的方向，和电子的流动方向相反。绕行方向就是分析电路时沿着的反向。我们下面用一个简单的电路来说明。

下图电路中电池电压为 12V, 电阻值为 10Ω，求电路中的电流。当然这里电流我们可以直接用欧姆定律求出，但是我们在此处用基尔霍夫电压定律来求。

我们知道这个电路中电流的方向是顺时针的，如下图所示：

我们还知道，电阻流过电流会引起电压下降。因此，电阻的左边电压比右边高，我们给高电压的一边标上正号，低电压的一边表上负号，并且根据欧姆定律，我们知道电阻两端的电压降为电流乘以电阻:

我们先将绕行方向选定为顺时针，也就是我们沿着顺时针反向分析整个回路：

上图中绿色的顺时针箭头代表分析时的绕行方向。

我们可以选取回路中的任意一点开始分析，这里我们选取从 a 点开始分析：

从 a 点开始沿绕顺时针分析电路，第一个遇到的是电池，沿着绕行方向，先是负（或者说是低电压）再是正（或者说是高电压），也就是说电压升高了，我们计为 +12V。过了电池来到电阻，沿顺时针绕行方向，先是碰到高电压再是低电压也就是电压下降了。过了电阻又回到 a 点，正好是一圈：

根据基尔霍夫电压定律，闭合回路中电压的代数和为零，则有:

换个绕行方向

还是上面的电流方向，我们也可以采取逆时针绕行方向分析：

我们还是选取 a 点开始分析：

从 a 点开始沿逆时针分析，第一个遇到的是电阻，先遇到低电压再遇到高电压，电阻是 升压的：

电阻的压降是沿着电流的方向产生的，如果我们逆着电流的方向看，它就是升压的。也就是说，对电阻来说，当电流方向和绕行方向相反时，电阻升压。同一个电路，同一个器件，升压还是降压，取决于你从哪个方向看。

过了电阻，再遇到电池。先遇到电池的高电压端，再遇到电池的低电压端，也就是说电池是 降压 的：

根据基尔霍夫电压定律有：

解方程，我们求出电路中的电流依然为 1.2A。

我们总结一下电阻和电源的升降压规律。

对电阻来说，如果顺着电流方向，电阻是降压的，但是逆着电流反向看，它就是升压的。总结电阻升降压规律如下：

• 电流方向和绕行方向相同：降压
• 电流方向和绕行方向相反：升压

我们用下图表示上述电阻升降压规律：

对电池或电源来说，如果我们规定其电动势的方向为电源内部负极指向正极的方向，那么：

• 电动势方向和绕行方向相同：升压
• 电动势方向和绕行方向相反：降压

我们用下图表示上述电池升降压规律：

上面的总结的电阻和电源升降压规律你也可以把它们完全反过来，比如，你可以规定对电阻来说，当电流方向和绕行方向相同时为升压，其他的也都如此反过来，套入 KVL 方程中，也能解出一样的结果来，但我认为那不好理解，有点反人类。

换个电流方向

对于上面那个简单的电路来说，我们一眼就看出电流方向是顺时针的，对于一些复杂的电路，我们可能一开始判断不出电流的方向，没关系，我们可以随便假设一个电流方向，最后如果求出的电流是正的，说明我们一开始猜测的电流方向是正确的。如果最后求出的电流是负的，说明我们一开始猜测的电流方向是错误的，我们把电流方向反过来就行了。总结一下：

• 解出 I > 0, 实际电流和标定方向一致
• 解出 I < 0, 实际电流和标定方向相反

我们把一开始假设的那个电流方向称为标定方向。

比如，同样是上面的简单电路，假设我们一开始并不知道电流是顺时针的，我们先假设它是逆时针的，并且我们选择顺时针绕行方向：

我们还是从 a 点开始分析，沿着顺时针绕行，第一个遇到电池，从绕行方向看，电池是升压的。过了电池再遇到电阻。对于电阻来说，根据前面讲的电阻升降压规律，当电流方向和绕行方向相反时升压：

根据基尔霍夫电压定律，所有电压的代数和为零：

解方程，我们求出电路中的电流为 -1.2A。电流是负的，我们知道我们标定的电流反向是错误的，应该反过来。

杀一头牛

上面那个简单的电路我们用基尔霍夫定律来求解电流，简直是杀鸡用牛刀。下面，我们来一个稍微复杂点的例子，杀一头牛试试。

看下面的电路：

题目要求：求出各支路中的电流。

标定电流方向

根据以往的经验（可能是错误的）电流一般从电源正极流出，我们标定各支路中的电流方向如下：

注意上面电流的方向可能是错误的。最后的计算结果会告诉我们标定正确与否。如果计算出来电流是负值，说明我们一开始标定的电流方向是错误的。

选择绕行方向

电路中有两个回路，我们都选择顺时针绕行方向，也就是说我们沿着顺时针方向应用 KVL 分析电路：

对于上面的电路，我们这套分析方法，认为只有两个回路，最外围的大回路我们不认为是回路：

这套分析方法也叫网孔（Mesh）分析法。你可把电路想象中一张大网，一个眼就是一个网孔。网孔就是上面的回路。

举个例子，下面这张电路图中，有 9 个网孔：

写出节点方程

我们选择下图中的 a 点应用基尔霍夫节点方程：

根据 KCL 列出方程如下：

写出回路方程

我们从 b 点开始沿着前面的选择的顺时针绕行方向分析电路：

从 b 点出发，先遇到 电池，它升压，再遇到 4Ω 电阻, 电流方向和绕行方向一致，它降压，再遇到 8Ω, 它也是降压，列方程如下：

我们从 c 点开始沿顺时针分析回路2：

我们先遇到 8Ω 电阻, 绕行方向和我们标定的电流方向是相反的，逆着电流方向看，电阻是升压的。过了 8Ω 再遇到 6Ω 电阻, 逆着电流方向看，电阻也是升压的。过了 6Ω 电阻 遇到 4V 电源，先遇到正极，再遇到负极，此处电源是 降压 的。应用 KVL 我们列方程如下:

三个方程，三个未知数：

我们解方程得：

电流 I2 是负的，我们知道我们一开始标定的方向是错的，它的真正方向应该反过来。

我们总结一下解题步骤：

1. 标定各回路中的电流方向
2. 选择绕行方向
3. 选择节点，应用 KCL, 写出节点方程
4. 选择回路，应用 KVL, 写出回路方程
5. 解方程

一开始标定的电流方向可能是错的，没关系，大胆选就行，最后的计算结果会纠正。

总结

KCL 是描述节点（Junction or Node）的， KVL 是描述回路（Loop）的。

KCL 是说流过电路中任意节点的电流的代数和为零，或者说对任意节点流入电流之和等于流出电路之和。

KVL 是说对于任意闭合回路电压的代数和为零，或者说闭合回路中电压升之和等于电压降之和。

在应用 KVL 进行分析时，器件是升压还是降压取决于你怎么看，对于电阻来说取决于两个方向：电流方向和绕行方向；对于电源来说，取决于：电动势方向和绕行方向。