hinge loss是一种常用损失[1]，常用于度量学习和表征学习。对于一个模型 $\hat{y}=f(x), \hat{y} \in [0,1]$ ，如果给定了样本x的标签y（假设标签是0/1标签，分别表示负样本和正样本），那么可以有两种选择进行模型的表征学习。第一是pointwise形式的监督学习，通过交叉熵损失进行模型训练，也即是如式子(1-1)所示。

其中的 $s(\cdot)$ 是softmax函数。第二种方式是将样本之间组成如 $<s^{+}, s^{-}>$ 的pair，通过hinge loss进行pair的偏序关系学习，其hinge loss可以描述为式子(1-2)：

其中的 $s^{-}$ 和 $s^{+}$ 分别表示负样本和正样本的打分，而m mm这是正样本与负样本之间打分的最小间隔。如Fig 1.所示，我们发现 $s^{+}-s^{-}_{1} < m$ ，而 $s^{+}-s^{-}_{2} > m$ ，从式子(1-2)中可以发现，只有 $s_{1}^{-}$ 会产生loss，而 $s^{-}_{2}$ 则不会产生loss，这一点能防止模型过拟合一些简单的负样本，而尽量去学习难负例。

Fig 1. hinge loss的图示。

从实现的角度出发，我们通常可以采用下面的方式实现，我们简单介绍下其实现逻辑。

import torch 
import torch.nn.functional as F

margin = 0.3
for data in dataloader():
    inputs, labels = data
    score_orig = model(inputs) # score_orig shape (N, 1)
    N = score_orig.shape[0]
    score_1 = score_orig.expand(1, N) # score_1 shape (N, N)
    score_2 = torch.transpose(score_1, 1, 0) 

    label_1 = label.expand(1, N) # label_1 shape (N, N)
    label_2 = label_1.transpose(label_1, 1, 0)
	label_diff = F.relu(label_1 - label_2)
    score_diff = F.relu(score_2 - score_1 + margin)
    hinge_loss = score_diff * label_diff
    ...

为了实现充分利用一个batch内的样本，我们希望对batch内的所有样本都进行组pair，也就是说当batch size为N的时候，将会产出 $N^2-N$ 个pair（样本自身不产生pair），为了实现这个目的，就需要代码中expand和transpose这两个操作，如Fig 2.所示，通过这两个操作产出的score_1和score_2之差就是batch内所有样本之间的打分差，也就可以认为是batch内两两均组了pair。

Fig 2. 对score的处理流程图

与此相似的，如Fig 3.所示，我们也对label进行类似的处理，但是考虑到偏序已经预测对了的pair不需要产生loss，而只有偏序错误的pair需要产出loss，因此是label_1-label_2产出label_diff。通过F.relu()我们替代max()的操作，将不产出loss的pair进行屏蔽，将score_diff和label_diff相乘就产出了hinge loss。

Fig 3. 对label处理的流程图。

即便我们的label不是0/1标签，而是分档标签，比如相关性中的0/1/2/3四个分档，只要具有高档位大于低档位的这种物理含义（而不是分类标签），同样也可以采用相同的方法进行组pair，不过此时label_1-label_2产出的label_diff中会出现大于1的item，可视为是对某组pair的loss加权，此时需要进行标准化，代码将会改成如下:

import torch 
import torch.nn.functional as F

margin = 0.3
epsilon = 1e-6
for data in dataloader():
    inputs, labels = data
    score_orig = model(inputs) # score_orig shape (N, 1)
    N = score_orig.shape[0]
    score_1 = score_orig.expand(1, N) # score_1 shape (N, N)
    score_2 = torch.transpose(score_1, 1, 0) 

    label_1 = label.expand(1, N) # label_1 shape (N, N)
    label_2 = label_1.transpose(label_1, 1, 0)
	label_diff = F.relu(label_1 - label_2)
    score_diff = F.relu(score_2 - score_1 + margin)
    hinge_loss = torch.sum(score_diff * label_diff) / (torch.sum(label_diff) + epsilon) # 标准化处理，加上epsilon防止溢出
    ...

Reference

[1]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/103995962, 《一文理解Ranking Loss/Contrastive Loss/Margin Loss/Triplet Loss/Hinge Loss》

hinge loss的一种实现方法

Reference