薄板样条插值薄板样条插值（Thin Plate Spline,TPS）是插值方法的一种，是常用的2D插值方法。假如给定两张图片中一些相互对应的控制点，如何将其中一个图片进行特定的形变，使得其控制点可以与另一张图片的控制点重合，如Fig 1.1所示。当然，提供插值的方法也特别的多，TPS是其中一种技术，其有着一个基本假设
如果用一个薄钢板（只是一个比喻）的形变来模拟这种2D形变，在确保所有控制点能够尽可能匹配的情况下，怎么样才能使得钢板的弯曲量最小。
几乎所有的生物有关的形变都是可以用TPS来近似，因此TPS也经常被用于脸部关键点形变等相关的应用[1]。
Fig 1.1 该图演示了TPS的基本任务，(a)图的p点表示的是移动之前的点，而q点表示的是移动之后的点，若干控制点产生了这种移动之后，势必整个平面发生了扭曲，其结果如(b)所示，TPS的目的就是拟合得到每个曲面上的点的变化。为了描述整个插值过程，按照我们刚才所说的，需要定义两个项，一个是拟合项，测量将源点变形后距离目标点的大小；第二个是扭曲项
，测量曲面的扭曲大小。那么有总的损失函数：
其中的为权值系数，控制允许非刚体形变发生的程度，不同的
对于整个拟合效果的影响如Fig 1.2所示。
Fig 1.2 不同的权重系数对于拟合效果的影响，越大的权重变形就越接近仿射变换。
其中有：
其中的N为控制点的数量，式子(1.2)很容易理解，是源目标经过形变函数之后和目标之间的距离；而式子(1.3)是曲面扭曲的能量函数，由文献[6]中给出，最小化式子(1.1)的结果，可以推导出形变函数的唯一闭式解结果为：
其中p pp为曲面上的任意一个点，有，
是对应域的控制点，而
，而这里的
为径向基函数，表示某个曲面上的点的变形会受到所有控制点变形的影响（当然，不同控制点的影响程度不一样），有
而表示对不同径向基的加权。如Fig 1.3所示，如果我们假设每个控制点都对应一个高度，也就是
，也就是说控制点是三维空间坐标系中的自变量，而其高度是因变量，那么我们可以再继续分析式子(1.4)中的第一项和第二项。
我们发现第一项其实是尝试用一个平面 去拟合所有的目标控制点，当然这个拟合肯定不够好，因此用第二项尝试在该平面的基础上去弯曲（当然是尽可能小的弯曲），从而达到更好的拟合效果，如Fig 1.3所示。此时有未知参数
，和
，因此一共有1 + 2 + N 个参数，其中D = 2 是维度，N 是控制点数目。
我们为了求解形式一般化，用以下矩阵代表之前谈到的数值，有：
其中每一行代表一个控制点坐标，该矩阵称之为控制点矩阵。
该矩阵称之为高度矩阵，后面三个0是为了形式统一填充的。
其中表示两个控制点之间的距离。令矩阵
为：
那么由式子(1.4)和 ，有：
其中。其中的后三行引入了一组对参数的约束（虽然我并不知道这组约束的含义，有了解的朋友请在评论区赐教，谢谢）：
那么从式子(1.10)我们有：
当然也可以通过解线性方程组(1.10)得到参数组一旦这个参数组计算得到，那么我们的插值函数
也就已知了，只要给定平面上任意一个点，就能通过插值函数将其插值到目标平面上。
变形(deformation)这里介绍TPS的一个主要应用，对图片的控制点进行偏移，以达到通过控制点对图像进行特定形变的目的。如Fig 2.1所示，通过拉拽嘴角的控制点（即是蓝色点），使得周围的像素，比如A点移动到了点，此时存在位移
，此时我们需要插值这个位移。 当然，对应控制点之间的移动偏移是可以知道的，记为
，我们要根据已知的控制点偏移去插值图片上其他任意像素点的偏移。
不妨我们把这两个位移的分量隔离开来，不考虑两个维度之间的相关性，那么可以将第一章提到的“高度”在这里理解成每一个位移的分量，那么我们有两个插值函数需要预测，即是：
Fig 2.1 通过拉拽嘴角和眼角的控制点，可以实现图像的内容形变。
假如只是选定6个控制点，分别是图片的四个角落，右眼和右侧嘴角，如Fig 2.2所示，其中红色点表示移动之前的控制点，绿色点表示移动后的控制点，我们发现只是移动了右边眼睛和右边嘴角。那么计算出来的插值函数为：
其图像如Fig 2.3所示。我们发现在四个角落，因为不存在控制点的位移，因此Δ x , Δ y 的平面没有高度变化，而嘴角向上移动，因此对应嘴角的控制点的曲面上的Δ y 有着较高的高度，而对应的Δ x 则没有太大的高度变化。相反的，右眼部分则是Δ x 有着较为明显的高度变化，而Δ y 没有。
Fig 2.2 红色点表示移动之前的控制点，绿色点表示移动后的控制点，我们发现只是移动了右边眼睛和右边嘴角。
只要得到了这个Δ x , Δ y 方向的插值函数，给定任意一组控制点的变化，都可以对其他非控制点的像素位置进行插值。
Fig 2.3 △x和△y的插值函数图像，其中的红点表示控制点。Update 20201028更新一个来自知乎朋友的问题，链接在：https://zhuanlan.zhihu.com/p/227857813
ID:qing3问题：请问为什么公式1.4的结果是标量呀，而公式1.2中把公式1.4的结果当做向量来计算的
首先我们要知道，以二维图片的变形为例子，该TPS拟合函数，是给定一个图片中的二维坐标
，去拟合该处的灰度值（当然也可以是RGB通道，只不过如果是RGB通道的话需要三个不同的拟合函数），因此该拟合函数的输出值是标量，回到式子(1.2)，我发现该式子写得有点小问题，容易造成误解，我后面改成式子(a1)，其中的
表示对给定的坐标取灰度值，因此也是一个标量函数。这样子就不会有误解了。建议可以看看Fig 1.3会有更直观的感受，其预测值可以看成是高度，因此才会用“薄板变形”去形容这个过程，是很形象的。
Reference
[1]. Siarohin, A., Lathuilière, S., Tulyakov, S., Ricci, E., & Sebe, N. (2019). First order motion model for image animation. In Advances in Neural Information Processing Systems (pp. 7137-7147).
[2]. http://profs.etsmtl.ca/hlombaert/thinplates/
[3]. https://www.jianshu.com/p/2cc189dfbcc5#fn3
[4]. https://www.cse.wustl.edu/~taoju/cse554/lectures/lect07_Deformation2.pdf
[5]. Bookstein, F. L. (1989). Principal warps: Thin-plate splines and the decomposition of deformations. IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence, 11(6), 567-585.
[6]. Kent, J. T. and Mardia, K. V. (1994a). The link between kriging and thin-plate splines. In: Probability, Statistics and Optimization: a Tribute to Peter Whittle (ed. F. P. Kelly), pp 325–339. John Wiley & Sons, Ltd, Chichester. page 282, 287, 311