回顾仿射变换
我们之前在博文[2,4]中谈到过仿射变换，简单来说就是仿射变换是几何图形之间保持平行线，共线性的一种线性变换，在二维情况下，我们用齐次坐标系[4]可以表示为：
其中满足约束：
一般来说，仿射变换包括了 旋转，平移，切变，尺度放缩等基本几何操作 [4]。当然，一般我们提到仿射变换时，都默认是全局的仿射变换（global affine transformation）。
手写字符匹配在说到局部仿射变换之前，我们先提一下手写字符匹配这个应用场景，在这个场景里面，局部仿射变换有着其作用之地。对于某个手写字符，比如“大”字，我们可以设置一个标准的参考字符，我们分别用R , S 表示参考字符和输入字符，假设这两个字符的特征点为：
其中表示特征点的数量，如Fig 2.1所示，为了使得匹配关系尽可能一致，我们的目标方程是：
其中表示了从 R 到 S 的特征点映射关系，即是
，不失一般性地假设
，此时
为单位映射，我们有：
此时变形向量可以表示为：
Fig 2.1 “大”字的参考字符和输入字符之间存在一定的匹配关系，当然，这两类字符的特征点数不一定一致，但是可以进行特定的采样使得其特征点数一致。
注意到一种现象，在式子(2.3)中其实考虑的是每个点之间的匹配关系，我们称之为全局匹配关系，而在手写字体和参考字体的真实匹配过程中，其实可能存在局部的匹配关系，即是某些部分的匹配比较接近，而某些部分的匹配不够接近，如果把这两个结果一起优化（即是全局），则优化过程可能对局部优化较好的结果产生不好的影响。为了避免全局信息对局部信息产生影响，此时需要考虑局部的匹配结果优化。
局部仿射变换
我们假设输入的字符特征点可以用参考字符特征点的仿射变换表示，那么有：
其中是二维的仿射变换矩阵，用齐次坐标系表示，而
是残差。那么对于每个特征点i ii而言，都存在这样一个二维仿射变换矩阵
，使得参考字符和输入字符的特征点都可以用仿射变换进行关联，如Fig 3.1所示。
可知对于而言，也有：
那么为了优化得到第 i 个特征点的仿射矩阵，我们有：
有最优化过程：
我们发现，该优化过程需要考虑全局的特征点之间的仿射关系，而这个考虑关联的程度由权重系数控制，一般来说，我们用高斯函数[5]表示这个权重大小，也就是距离 i 越远的特征点 j 其权重越小，反之亦然。有：
我们称θ \thetaθ为窗口大小，这个决定了特征点之间距离和权重系数之间的放缩关系。
通过这个权重参数，我们在优化
的时候，更多地考虑的是以特征点 i 为圆心，以
为半径的局部的特征点优化，而不是全局信息，这个就称之为 局部仿射变换。
Fig 3.1 输入字符和参考字符的特征点之间可以用仿射变换进行关联。
容易发现，当时，
，此时等价于全局仿射变换，当
时，
，此时意味着所有匹配都准确，这个是不可能的。
总结总结来说，全局仿射变换和局部仿射变换的区别在于，在局部仿射变换过程中，求解仿射变换矩阵的参考点是局部的，在对于某些存在局部变形的应用中，会更为适合用局部仿射变换去求解局部仿射变换矩阵。
Reference
[1]. Siarohin, A., Lathuilière, S., Tulyakov, S., Ricci, E., & Sebe, N. (2019). First order motion model for image animation. In Advances in Neural Information Processing Systems (pp. 7137-7147).
[2]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/104533575
[3]. Wakahara, T. (1988, January). Online cursive script recognition using local affine transformation. In 9th International Conference on Pattern Recognition (pp. 1133-1134). IEEE Computer Society.
[4]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/102756630
[5]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/80339201