上一篇文章简要介绍了目前常见的几种开关电源拓扑，这一篇就其中最常用的BUCK降压拓扑做一个详细分析，从定量角度推导该拓扑涉及到的重要公式，解释电源纹波产生的原理，从而达到更深层次理解BUCK电路工作原理的目的。
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数学是一个很神奇的学科，它几乎奠定了人类文明的基础。试想假如没有数学，那就我们只能从宏观的，定性的角度去理解这个世界：比如我们明明知道BUCK电路由一些电感、电容、开关管等元器件组合而成，却只能通过反复迭代实验去观察它的特性，然后用笨拙的文字记录下不同元器件组合所构成电路的性能。但通过数学工具，我们可以定义出不同器件的参数，然后精确的总结出电路的特性，最终抽象出一个合适的数学模型去描述这个电路，甚至还可以用这个模型去推理出电路可能具有的其他特性，这些特性也许我们平时的实验中无法观察到，但确是实实在在存在的（比如环路潜在的不稳定现象）。再比如电压电流的相角、通信领域的傅里叶变换等等，都是用数学工具将原本定性的一些物理特性赋予了定量的含义，然后抽象出各种公式、模型，通过这种方式描述了我们接触到的世界万物。
下面我们就采用数学工具去定量的分析基本的BUCK电路，搞清楚它的工作原理：
图1.异步BUCK电路工作原理
图1所示为一个基本的异步BUCK电路图，可以看到主要包括开关管MOS、续流二极管D、储能电感L、输出电容Cout，以及负载RLOAD等。整个电路分成两个环路，开关管闭合时，粉色的LOOP1工作，VIN电流流经电感L给Cout和RLOAD供电，然后电流通过大地流回VIN负端结束。开关管断开时，蓝色LOOP2工作，电感续流，为给Cout和RLOAD供电。右上角是各个节点的波形图。
图2. BUCK电路节点波形
图2是稳态条件下BUCK各节点的电压电流波形。分开来看，开关管导通时刻，续流二极管反向截至，LOOP1工作，电感两端电压为Vi-Vo。根据伏秒定律：
其中，V=Vi-Vo，dt用开通时间ton代替，得到：
当开关管关断时刻，续流二极管导通，LOOP2工作，电感两端电压为Vo（忽略二极管压降），同理可得：
电源系统稳定工作时，导通纹波和关断纹波一致。则：
可以得到
定义D为占空比，它等于开关管导通时间和周期的比值，则：
即BUCK电路的传递函数。
下面进一步计算电感纹波电流的峰峰值，将上面ton表达式代入，再整理可得：
就是稳态条件下流经电感的纹波电流峰峰值，可以看出，该值与开关频率Fsw以及电感值L成反比，当占空比小于0.5时随占空比增加而增加，占空比超过0.5后，随占空比增加而减小。
图3. BUCK电路节点波形
有了纹波电流，就可以进一步计算在输出电容上的纹波电压了（如上图3）：在输出部分，电感电流在电容C和负载之间分割，有：
设在稳态下，输出到负载的电流不变，有：
当电流流过理想电容C时，在C两端产生的电压变化：
积分下限为ton/2，toff/2，计算得：
对于一般的电容,都具有串联等效电感ESL和串联等效电阻ESR。ESL只在较高频率时起到作用，在分析开关频率时可以将其忽略。电流流过ESR两端产生电压降，其值为:
综上分析，总的输出纹波为：
以上介绍的是稳态条件下BUCK电路的纹波电流和纹波电压计算方法。其实BUCK电路还有两种工作模式，就是连续和断续模式。怎么区分呢？主要以电感电流是否穿越0点为界限，也就是LOOP2工作过程中电感电流是否会下降至零。
图4. BUCK电路电感电流CCM/DCM
由于电感电流输出到电容和负载两部分，又电容在一个周期内的平均电流为零，所以电感平均电流一定等于负载电流。如图4所示，当负载电流较大时，电感内电流是连续的三角波，但随着负载电流减小，电感电流波谷会逐渐接近零，当其等于零时，就进入临界模式，负载电流继续降低，电感电流就会出现断续，也就是在一段时间内电感电流为零，这就是连续模式和断续模式了。
断续模式下输出电压和输入电压满足以下关系：
式中（T为开关周期）：
可以看到断续模式下，输出电压不仅与负载有关，还和开关频率、电感值有关系。
上面介绍的都是基于有续流二极管的BUCK拓扑，但随着电子设备发展，这种拓扑也进行了一些演变，比如下图5中，采用同步MOSFET代替续流二极管。这样可以进一步降低LOOP2中二极管的功耗，更加适合低压大电流的应用，因为LOOP2占大部分时间，续流二极管导通时间长，功耗也大，采用MOSFET替换可以降低这部分功耗，提高效率。
图5. 异步BUCK和同步BUCK
这篇文章就先写到这里吧，主要介绍了BUCK拓扑电路稳态条件下传递函数的推导，以及电感纹波电流的计算，输出电容纹波电压计算，理论性比较强，我自己写起来也觉得枯燥。其实这些理论和计算公式最大的用处不在于精准的推算某个参量，而在于给电源工程师提供一个设计电路、调试电路的依据，方向。下一篇预计会简单介绍BOOST拓扑和BUCK-BOOST拓扑的电路组成和基本原理，周末愉快~