我们在上篇文章 BUCK电路的输出电容怎么选型？ 中通过实例分析了BUCK电路输出电容的选型方法；有朋提出，不知道公式(37)是如何推导来的...所以，本篇我们来推导下...
本篇的主题叫做“如何推导输出容性纹波电压的表达式？”我另外给它加了副标题叫做“也谈数学之美”，其实是呼应吴军老师的那本书《数学之美》。
本文中，我们将分别基于数学微积分和几何两种方法，推导出BUCK电路输出电容COUT纹波电压的表达式。
基于数学微积分的方法，需要8个公式得到结果；而基于几何的方法，只需要1个公式即可得到结果。充分体现了数学之美，严格意义上来说，也可以叫做几何之美。
1. 基于微积分的方法
图3.27 功率电感、输出电容和负载端的纹波电流波形
参考上图3.27，如下所示，这里我们需要提前给出BUCK电路输出电容上的瞬时电流表达式(3.243)，下文需要对其进行积分。
(1) 输出电容上的纹波电压在TON导通阶段取得最小值的表达式
由电容公式 I=C×dv/dt=C×∆V/∆T（这个公式很重要） 容易得知，在TON导通阶段输出电容COUT充放电导致的纹波电压为
其中，假设输出电容上的初始电压（即 t=0 时刻的电压）为零，即 Vc (t=0)=0 ，只考虑降压电路的CCM稳态条件。
参考“3.3.11.1 输出电容的瞬时电流”章节内容，将公式(3.243)中TON导通阶段的电流（ i_(COUT,ON) (t) = (∆I_L)/T_ON × t - (∆I_L) / 2, t∈[0,T_ON ] ）代入公式(3.168)，可得输出电容C纹波电压分量 V_C (t) 在 t∈[0,T_ON ] 内随时间变化的表达式如下（正文中公式只能以文本形式呈现，具体推导过程看文中带编号的图片公式即可）：
由于上述公式(3.169)是时间 t 的一元二次方程，所以输出电容C纹波电压分量是一个开口向上的抛物线形状，该抛物线将在 t=t_min 时取得最小值，t_min 可由如下方程解得：
联合上述公式(3.169)(3.170)两个方程，可以解得：
所以，将(3.171)代入(3.169)，可得输出电容C充放电引起的纹波电压在 t∈[0,T_ON ] 这段时间内的 t_min=Ton/2 处取得的最小值如下：
这里需要说明的是，参考下文中的图3.28，电容上的电压滞后于电流90度，或电容电压的相位滞后于电流相位90度，所以在纹波电流增大的过程中纹波电压取得最小值。下文同理，在纹波电流减小的过程中纹波电压取得最大值。
(2) 输出电容上的纹波电压在TOFF关断阶段取得最大值的表达式
同理，参考“3.3.11.1 输出电容的瞬时电流”章节内容，将公式(3.243)中 TOFF 关断阶段的电流（ i_(COUT,OFF) (t')=-(∆I_L)/T_OFF ×t^'+(∆I_L)/2, t^'∈[T_ON,T_SW ], t^'=t-T_ON ）代入公式(3.168)，可得输出电容C纹波电压分量 V_C (t) 在 t^'∈[T_ON,T_SW ] 内随时间变化的表达式如下：
利用上述公式的微分等于零，求解其取得最大值的时刻为
再将上述最大值的时刻代入公式(3.173)，可得输出电容C充放电引起的纹波电压在 t^'∈[T_ON,T_SW ] 这段时间内的 t_max=Toff/2 处取得的最小值如下：
以上，我们总结了时间、纹波电流和纹波电压之间的关系。公式(3.169)和(3.173)分别是，在开关管导通和关断时间内，输出电容充放电引起的纹波电压随时间变化的关系式，(3.171)和(3.174)是对应取得最小值和最大值的时刻，公式(3.172)和(3.175)分别是对应取得的最小值和最大值。
(3) 输出电容COUT纹波电压分量的峰峰值
输出端由输出电容充放电引起的纹波电压的峰峰值(peak-to-peak ripple voltage)是其最大值V_(C(max)) 与最小值 V_(C(min)) 之间的差，即
至此，我们基于微积分和一元二次方程的方法推导出了由输出电容充放电引起的纹波电压的表达式。
2. 基于几何的方法
图 3.28 输出电容上的纹波电流和纹波电压随时间的变化关系如图3.28所示，阴影部分的面积正是这段时间内电容上积累的电荷量 ∆Q ，且容易得知该阴影三角形的底为 b=1/(2×Fsw ) ，高为 h=∆IL/2 ，那么基于关系式(1.6)(∆Q=C×∆V)和“安秒积”可得电荷量 ∆Q 如下：
进而求解 ∆V 的表达式如下：
综上可见，公式(3.176)和(3.178)具有相同的表达形式，二者等同。
3.本篇小结
至此，我们完成了基于数学微积分和几何方法的BUCK电路输出电容COUT纹波电压表达式的推导。基于几何的方法，快速推导出了输出电容充放电引起的纹波电压的表达式。
可见，利用电荷量作为桥梁，基于几何的方法简洁高效，很好地体现了数学之美，或者叫做几何之美。
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