1. 简介
R. W. Erickson《Fundamentals of Power Electronics [2nd Edition]》的这本书，想必从事电源的同行们都不陌生，是一部非常经典的著作，非常全面且基础性的阐述了电力电子基础技术。
遗憾的是，目前还没有中文版本被翻译出来。
有幸的是，有些同行对部分章节做了翻译，需要了解的可以自行搜索。该书第5章节写的是“The Discontinuous Conduction Mode”非连续导通模式，分析并总结了BUCK、BOOST和BUCK-BOOST这三种拓扑分别工作在CCM或DCM的条件。
我在学习过程中，看到有个公众号翻译文章的结尾，看到有人留言说5.28不是由5.19和5.27联立解得，只是个近似。
实际上，5.28是由5.19和5.27联立解得的，R. W. Erickson在书中直接给出了结果5.28，没有给出解方程的过程。此文，给出具体的解方程的过程。
2. BUCK电路DCM模式的电压转换比
图 3.8 降压电路DCM模式下的电感电压和电流波形
2.1 将“伏秒平衡”应用于降压电路DCM模式的电感电压波形
“伏秒平衡”这个“宗（底层不变的基本原理）”在降压电路的CCM、BCM和DCM三个模式下都是始终成立的。
如前“3.1.4.1 CCM模式下的直流增益和直流传递函数”章节所述，降压电路CCM模式下 T_ON 时间内的电感电压为 V_(L,ON)=V_IN-V_OUT ，T_OFF 时间内的电感电压为 V_(L,OFF)=-V_OUT （电感电流是减小的，感应电压与输出电压方向相反），这同样适用于DCM模式。
针对降压电路DCM模式下整个 T_SW 周期内，使用“伏秒平衡”原理可得（导通时间 T_ON 使用 D1*T_SW 表示，关断时间 T_OFF 使用 D2*T_SW 表示，未知时间使用 D3*T_SW 表示）：
从而，解得 (D1+D2) 的表达式如下：
这由“伏秒平衡”原理得到。这里需要知道的是，D2 是未知参数。
2.2 将“电荷平衡”应用于降压电路DCM模式的电容电流波形
基于降压电路拓扑的“输出节点”，由基尔霍夫定律电流定律可知，电感电流等于电容电流与负载电流之和（负载电流使用 I_OUT = V_OUT / R 表示），即
由“伏秒平衡”可知，输出电容上的电流平均值为零，即
所以，电感电流平均值等于负载电流，即
根据平均值计算公式(3.6)可知，降压电路DCM模式下的电感电流平均值（同时也是负载电流平均值，因为输出电容电流平均值为零）就是电流曲线三角形的面积对开关周期 T_SW 的平均，即(3.55)
这里，电感电流平均值的计算，也可以参考“3.3.5 电感的平均电流”章节的方法，直接将电感瞬时电流公式代入平均值计算公式得到。如图 3.8所示，或根据电感公式 ∆I/∆T=V/L 可知，降压电路DCM模式下的电感电流峰值为
综合(3.54) (3.55) (3.56)可得
这由“电荷平衡”原理得到。这里需要知道的是，V_OUT 是未知参数，负载电阻 R 是已知参数。
2.3 解方程组
联立(3.51)和(3.57)，将公式(3.51)代入公式(3.57)（消去D2），可得：
将上述等式稍微整理，可得
将上述等式两边同时除以 V_OUT ，且稍加整理，可得：
将上述等式两边同时乘以 2L/(D1^(2)*T_SW ) ，可得：
因为，降压电路的输入电压 V_IN 和输出电压 V_OUT 都是大于0的，所以方程(3.62)的根1（即公式(3.64)）的倒数就是降压电路DCM模式下的电压转换比，即
以上公式中， D 或 D1 表示导通时间的占空比，D2 表示关断时间的占空比，D3 表示降压电路DCM模式下未知时间的占空比， M_DCM (D,K) 中的“D”，表示 M_DCM (D,K) 是占空比D的函数（同时也是K的函数）。
3. 总结
1. 此文，推导并解方程得到BUCK电路DCM模式的电压转换比为公式(3.67)，R. W. Erickson《Fundamentals of Power Electronics [2nd Edition]》书中给出的是(5.28)（重写如下），可见(3.67)与(5.28)是相同的。
2. 此文，重点分步给出了解方程的过程，联立(3.51)和(3.57)之后，将(3.58)转换为一元二次方程，进而求解，容易得到(3.67)或(5.28)。
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