01 背景简述
图 0.1 Op-Amp II型补偿器
图 0.1所示，是Op-Amp II型补偿器，可以提供fz1零点用于抵消“被控对象”或“功率级”的LC双极点，提供fp1极点用于抵消“被控对象”输出电容寄生参数的ESR零点。这里，我们称之为“环路补偿方法I(f0方法)”的传统分析方法的大致流程是：
① 基于II型补偿器传递函数解出fp0、fz1和fp1三个频率点；
② 根据“被控对象”的LC双极点和ESR零点特性，可以将fz1和fp1确定为已知参数；
③ 根据期望的fp0、fz1和fp1三个频率点参数计算出补偿器R2、C1和C3三个元件参数。
由上述分析过程可知：
① II型补偿器设计三个频率点和三个元件值共六个参数，对应着三个方程，已知六个参数中的任意三个参数，都可以解方程得到另外三个参数。
② fz1和fp1这两个参数是已知的，如果能根据期望的环路特性得到R2参数，那么就可以解得fp0、C1和C3这三个参数。
所以，此文探索分析期望的R2元件值获取方法，以此作为起点进行II型补偿器环路设计。
02 II型补偿器的传递函数
补偿器或控制级的传递函数由反馈阻抗网络 Z_F 和输入阻抗网络 Z_I 定义如下：
由 R_2 、C_1 和 C_3 组成输出或反馈阻抗网络、R_1 组成的输入阻抗网络的复频域表达式，可得II型补偿器的传递函数：
03 传统分析方法（求解传递函数）
从公式(0.4)可知，上述传递函数的两个极点和一个零点分别如下：
以上，就是在已知了环路补偿器类型为Op-Amp-II型补偿器的基础上，计算推导控制级或补偿器传递函数、求解传递函数根的方法。
以下，如果将上述公式(0.5)(0.6)(0.7)分别变换为如下形式：
由此解得：
这就是，在实际应用中，先确定 R_1 、补偿器为Op-Amp-II型、期望的极点频率 f_p0 、f_p1 和零点频率 f_z1 的情况下，计算所需补偿网络值 C_1 、C_3 和 R_2 。
这里需要说明的是，“期望的极点频率 f_p0 、f_p1 和零点频率 f_z1”不等同于(0.5)(0.6)(0.7)中的计算值，而是需要根据被控对象的特性来确定的。三个频率点与三个元件值是相互决定的关系，明确了期望的频率点才能使用公式(0.11)(0.12)(0.13)计算得到三个元件值，选型完成明确了三个元件值后补偿网络才能够提供三个对应的频率点，有点类似于“先有鸡，还是先有蛋”问题。
04 期望的R2(Rc1)参数求解方法
图 0.2 理想的环路响应图
说明：图 0.1中的R1和R2分别是图 0.2中的Rf1和Rc1。这里需要明确的是，fp0是补偿器的“0dB穿越极点”，f0是整个开环传递函数G(s)H(s)的“0dB穿越频率”，二者不可混淆。
（1）由“《精通开关电源设计（第2版），[美] Sanjaya Maniktala》12.20 拓扑结构的被控对象传递函数”或者“《开关电源宝典·降压电路(BUCK)的原理与应用》4.3 BUCK电路的传递函数”可知，BUCK电路从控制到输出（被控对象）的传递函数（“包含负载电阻、不考虑寄生参数的LC低通滤波器传递函数”）为
图 0.2所示（绿色增益曲线），根据上述被控对象传递函数公式(0.14)可知，不随频率变化的常数部分a就是其直流增益（使用分贝表示）如下：
（2）将II型补偿器传递函数公式(0.4)变形如下：
因为在实际应用中 C_1 和 C_3 取值满足“ C_1≫ C_3 ”，那么有 C_1+C_3 ≈ C_1 ， C_1/(C_1+C_3 ) ≈1 ，(C_1 * C_3)/(C_1+C_3 ) ≈ C_3 ，因此上述II型补偿器传递函数公式(0.16)可以简化如下：
图 0.2所示（蓝色增益曲线），根据上述补偿器传递函数公式(0.17)可知，不随频率变化的常数部分b就是其直流增益（使用分贝表示）如下：
（3）在已知控制对象传递函数公式(0.14)、补偿器传递函数公式(0.17)的情况下，可得整个BUCK电路系统的开环传递函数(Total Open Loop Transfer Function)，如下所示：
图 0.2所示（红色增益曲线），根据上述开环传递函数公式(0.19)可知，不随频率变化的常数部分c就是其直流增益（使用分贝表示）如下：
（4）图 0.2所示（红色增益曲线），从 20 log(f_LC ) 到 20 log(f_0 ) 这段对应的斜率为 -1 ，d对应长度如下：
由几何关系可知 c = d ，由此可得：
由此解得：
其中，R_1 是BUCK电路的高边反馈电阻，V_RAMP 是BUCK芯片调制器的幅值（固定值或计算值，参考图 0.3），V_IN 是BUCK电路输入电压，f_LC 是由BUCK电路输出电感L和输出电容C构成的LC滤波器的双极点频率，f_0 是开环传递函数的“0dB穿越频率”（也可以写做 f_c ，通常可以被设置为BUCK电路开关频率的 1/10 至 1/5 ）。
上述这些参数在进行BUCK电路环路补偿设计之前都是已知参数，所以能够通过公式(0.23)计算得到补偿器所需的 R_2 值，进而结合期望的极点频率 f_p1 （放置在被控对象ESR零点位置 f_ESR ）、零点频率 f_z1 （放置在被控对象LC双极点位置 f_LC ）以及公式(0.11)(0.12)(0.13)计算得到补偿器所需的C1和C3两个参数（也可以得到补偿器的极点频率 f_p0 ）。
注：使用公式(0.23)方法的器件及资料：TPS54262、LM21212-1、LM21215、PM8903、Buck Converter Design Feedback Control Using CIP-DS00003725A.pdf …
05 小结
R_1、V_RAMP、V_IN、f_LC、f_0 这些参数在进行BUCK电路环路补偿设计之前都是已知参数，所以能够通过公式(0.23)计算得到补偿器所需的 R_2 值，进而结合期望的极点频率 f_p1 （放置在被控对象ESR零点位置 f_ESR ）、零点频率 f_z1 （放置在被控对象LC双极点位置 f_LC ）以及公式(0.11)(0.12)(0.13)计算得到补偿器所需的C1和C3两个参数（也可以得到补偿器的极点频率 f_p0 ）。